Matematika Kelas XI – Operas Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Pengertian Matriks

• Matriks adalah susunan bilangan dalam baris (row) dan kolom (column), disusun dalam bentuk persegi panjang atau persegi.
• Contoh: $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$$A=[a11​a21​​a12​a22​​a13​a23​​] Artinya: matriks $A$A mempunyai 2 baris dan 3 kolom.

2. Syarat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

• Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanya jika ukuran (ordo) keduanya sama — yaitu jumlah baris sama dan jumlah kolom sama.
• Jika ukuran berbeda maka operasi tidak dapat dilakukan.

3. Operasi Penjumlahan Matriks

• Jika $A$A dan $B$B adalah dua matriks berordo sama, maka penjumlahan $A + B$A+B dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian.
• Misalnya: $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$$A=[a11​a21​​a12​a22​​],B=[b11​b21​​b12​b22​​] Maka: $$A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}$$A+B=[a11​+b11​a21​+b21​​a12​+b12​a22​+b22​​]
• Contoh: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$A=[12​34​],B=[56​78​] Maka: $$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 3+7 \\ 2+6 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 12 \end{bmatrix}$$A+B=[1+52+6​3+74+8​]=[68​1012​]

4. Operasi Pengurangan Matriks

• Jika $A$A dan $B$B adalah dua matriks berordo sama, maka pengurangan $A – B$A−B dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
• Misalnya: $$A – B = \begin{bmatrix} a_{11} – b_{11} & a_{12} – b_{12} \\ a_{21} – b_{21} & a_{22} – b_{22} \end{bmatrix}$$A−B=[a11​−b11​a21​−b21​​a12​−b12​a22​−b22​​]
• Contoh: $$A = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 7 & 2 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$A=[47​92​],B=[13​56​] Maka: $$A – B = \begin{bmatrix} 4-1 & 9-5 \\ 7-3 & 2-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}$$A−B=[4−17−3​9−52−6​]=[34​4−4​]

5. Aturan-aturan Penting

• Ordo (ukuran) kedua matriks harus sama.
• Penjumlahan dan pengurangan dilakukan elemen per elemen (komponen sebaris-sekali kolom).
• Jika ditulis dalam bentuk umum: untuk matriks $A = [a_{ij}]$A=[aij​] dan $B = [b_{ij}]$B=[bij​] dengan ordo $m \times n$m×n, maka: $$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \quad (A – B)_{ij} = a_{ij} – b_{ij}$$(A+B)ij​=aij​+bij​,(A−B)ij​=aij​−bij​

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Penjumlahan

Diberikan:$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 6 & -2 \\ 7 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$A=[20​−13​45​],B=[17​60​−24​]

Hitung $A + B$A+B.

Penyelesaian:$$A + B = \begin{bmatrix} 2+1 & -1 + 6 & 4 + (-2) \\ 0+7 & 3+0 & 5+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 9 \end{bmatrix}$$A+B=[2+10+7​−1+63+0​4+(−2)5+4​]=[37​53​29​]

Contoh 2 — Pengurangan

Diberikan:$$C = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -3 & 8 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$C=[5−3​28​],D=[12​4−1​]

Hitung $C – D$C−D.

Penyelesaian:$$C – D = \begin{bmatrix} 5-1 & 2-4 \\ -3-2 & 8 – (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 9 \end{bmatrix}$$C−D=[5−1−3−2​2−48−(−1)​]=[4−5​−29​]

7. Latihan Soal

1. Diberikan:

$$P = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 5 \\ -1 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad Q = \begin{bmatrix} 2 & 7 & -3 \\ 6 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$P=[3−1​04​52​],Q=[26​7−2​−31​]

Hitung $P + Q$P+Q dan $P – Q$P−Q.

2. Diberikan:

$$M = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}, \quad N = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$M=[80​−25​],N=[3−1​42​]

Hitung $M + N$M+N dan $N – M$N−M.

3. Apakah mungkin menjumlahkan matriks $A$A berordo $2 \times 3$2×3 dengan matriks $B$B berordo $3 \times 2$3×2? Jelaskan alasannya.

8. Rangkuman

• Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan jika ordo matriks sama.
• Operasi dilakukan elemen per elemen.
• Hasilnya juga matriks dengan ordo yang sama.
• Untuk matriks $A = [a_{ij}]$A=[aij​] dan $B = [b_{ij}]$B=[bij​], berlaku: $$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \quad (A – B)_{ij} = a_{ij} – b_{ij}$$(A+B)ij​=aij​+bij​,(A−B)ij​=aij​−bij​